🦒 Menentukan Panjang Jari Jari Lingkaran Dalam Segitiga

Adapunrumus luas segi n beraturan yaitu sebagai berikut: L∆abc = ½ × ab × cd. Cara menghitung luas bangun datar tak beraturan nusagates. Source: www.belajarmtk.com. Luas segitiga = 1/2 x alas x tinggi. Namun ada juga satuan lain yang umumnya banyak digunakan oleh masyarakat, seperti hektar, are, dan juga ru. Rumus mencari jari jari lingkaran - Jari-jari lingkaran merupakan jarak antara titik pusat lingkaran dengan tepi lingkaran. Sedangkan diameter lingkaran merupakan jarak ( garis lurus ) antara satu tepi ke tepi lingkaran lainnya yang melewati titik pusat lingkaran, Anda akan sering diminta untuk menghitung jari-jari lingkaran berdasarkan hasil pengukuran lainnya. Buatlahobjek untuk menghitung Luas segitiga, Luas Persegi Panjang, dan Luas Lingkaran. Masing masing dalam satu objek. Sedangkan pada 2x Sin 60°. Luas segidelapan beraturan. luas segi delapan beraturan. Jika diketahui panjang jari-jari lingkaran dalam : Luas segilima : 8 x ½ x r²x Sin (360°/8)=4 x r²x Sin 45°. Jika diketahui panjang sisi segidelapan : Luas segitiga dalam : 8 x s²x Sin²45° = 4 x s²x Sin²45°. 2 x Sin 67,5° Sin 67,5°. BIMBEL JAKARTA TIMUR. Padalingkaran dengan jari-jari r, sudut pusat sebesar θ radian, memotong busur dengan panjang s = r θ, yaitu panjang busur = jari-jari x sudut pusat dalam radian. Seperti pada gambar di atas, dimana s dan r boleh diukur dengan sebarang satuan panjang yang mudah tetapi harus dinyatakan dengan satuan yang sama. Perhatikan contoh berikut. Diketahuijari jari lingkaran sebuah roda adalah 14 cm. Perhatikan gambar diatas itulah sketsa lingkaran dalam segitiga. Jari jari lingkaran roda r 14 cm keliling 2 π r 2 22 7 14 88 cm putaran 100 lintasan keliling x putaran 88 x 100 8 800 cm 88 m jadi panjang lintasan roda tersebut adalah 88 meter. Jadirumus jari-jari lingkaran dalam menjadi: denganL = Luas SegitigaS = 1/2 keliling Δ = 1/2 (a+b+c) Rumus di atas tergantung jenis segitiga. Kalau segitiga siku-siku akan lebih enak mencari luasnya dengan rumus 1/2 alas kali tinggi daripada menggunakan s. Baca Rumus Lengkap Berbagai Bentuk Segitiga. Lingkaran Luar Segitiga Gambarpada soal merupakan lingkaran dalam segitiga. Untuk mengetahui besar jari-jari dari lingkaran tersebut digunakan rumus jari-jari lingkaran dalam segitiga. Sebelumnya, kita perlu mencari sisi miring AB, keliling segitiga ABC, nilai s, dan luas segitiga ABC terlebih dahulu. Menghitung sisi miring AC: AB 2 = AC 2 + BC 2 = 8 2 + 15 2 = 64 Dilansirdari Khan Academy, diameter lingkaran adalah panjang garis yang melewati pusat lingkaran dari dua titik di tepi lingkaran. Sedangkan jari-jari atau radius adalah jarak dari pusat lingkaran ke titik di tepi lingkaran. Baca juga: Cara Menghitung Luas Lingkaran. Contoh Soal. 1. Tentukan keliling lingkaran dengan jari-jari 14 cm! Jawaban Sebuahlingkaran berjari-jari r terdapat di dalam segitiga ABC yang panjang sisinya a, b, dan c. Diketahui bahawa setiap sisi segitiga menyinggung lingkaran sehingga terdapat tiga titik singgung. Antara segitiga dan lingkaran tersebut memiliki hubungan antara luas segitiga dan panjang jari-jari lingkaran. Kakabantu menjawab ya:) Jawaban yang benar untuk pertanyaan tersebut adalah 8,5 cm. Ingat! Rumus panjang jari jari lingkaran luar segitiga: r = (a × b × c)/4L dimana: a, b, c = sisi-sisi segitiga L = luas segitiga r = jari-jari lingkaran Diketahui: sisi siku-siku segitiga: a = 8 cm b = 15 cm Pembahasan: Mencari panjang sisi miring segitiga Rumusmencari jari jari lingkaran jari jari lingkaran merupakan jarak antara titik pusat lingkaran dengan tepi lingkaran. Bisa anda lihat gambar diatas bahwa rumus lingkaran tidak bisa dipisahkan dengan jari jari titik pusat dan diameter lingkaran. Misalnya jika keliling sama dengan 15 sentimeter rumusnya akan menjadi seperti ini. oLSSXhY. Menentukan Panjang Jari Jari Lingkaran Dalam Segitiga. Siswa dapat menghitung panjang garis singgung. Luas dari segitiga paling kanan dapat ditentukan dengan dua cara. Dengan senang hati, kita akan bantu. S e g i t i g a. Berapakah panjang jari jari lingkaran dalam ABC, jika From Contoh soal ujian dinas tingkat 2 pdf Contoh soal ujian mandiri uin pdf Contoh soal uji kompetensi jabatan struktural Contoh soal ujian sertifikasi bendahara 2019 S e g i t i g a. Cara mudah menentukan panjang garis singgung lingkaran. Nah, untuk memudahkan anda dalam menghitung, sudah terdapat. Diberikan suatu segitiga yang panjang ketiga sisinya adalah a, b, dan c. Di mana, sisi alas dan tinggi pada segitiga tidak berturan tidak dapat dikenali secara mudah. Sekarang perhatikan contoh soal berikut ini. Himpunan semua titik dengan jarak yang sama terhadap sebuah titik tertentu disebut panjang jari jari lingkaran dalam segitiga sama sisi. Gambar pada soal merupakan lingkaran dalam segitiga. Menghitung panjang sabuk lilitan minimal yang menghubungkan dua lingkaran dengan rumus. R = 1/2 cd = a x b x c / 4l. Siswa dapat menghitung panjang garis singgung. Sekarang perhatikan contoh soal berikut ini. Source Himpunan semua titik dengan jarak yang sama terhadap sebuah titik tertentu disebut lingkaran. Muhamad husni mubaraq pendidikan matematika 4101410001 husnialqandali 4. Di mana, sisi alas dan tinggi pada segitiga tidak berturan tidak dapat dikenali secara mudah. Jika ada kesulitan, silahkan tuliskan di kolom komentar di bawah. R = 1/2 cd = a x b x c / 4l. Source Masukkan keliling pada soal ke dalam c Diberikan suatu segitiga yang panjang ketiga sisinya adalah a, b, dan c. Menghitung panjang sabuk lilitan minimal yang menghubungkan dua lingkaran dengan rumus. Materi dan rumus ini akan sobat jumpai di kelas 8 smp maupun di kelas 3 sma. Segitiga atau segi tiga adalah nama suatu bentuk yang dibuat dari tiga sisi yang berupa garis lurus dan tiga sudut. Source Diberikan suatu segitiga yang panjang ketiga sisinya adalah a, b, dan c. K = 2 x 22/7 x 14 cm. Selain itu, ulasan materi juga meliputi cara menentukan luas segitiga sembarang atau segitiga tidak beraturan. Cara mudah menentukan panjang garis singgung lingkaran. Sekarang perhatikan contoh soal berikut ini. Source Luas segibanyak luar beraturan senantiasa lebih besar daripada luas lingkaran sedangkan luas segibanyak dalam beraturan lebih. Lebih spesifik lagi belajar menentukan panjang garis singgung dua buah lingkaran. Lingkaran dalam dan lingkaran luar segitiga. Cara mudah menentukan panjang garis singgung lingkaran. Persamaan lingkaran yang berpusat di o. Source Lingkaran dalam dan lingkaran luar segitiga. Lingkaran dalam segitiga merupakan lingkaran yang memiliki titik pusat di perpotongan garis bagi dari ketiga sisi suatu segitiga. S e g i t i g a. Matematikawan euclid yang hidup sekitar tahun 300 sm menemukan bahwa jumlah ketiga sudut di suatu segi tiga adalah 180 derajat. Selain itu, ulasan materi juga meliputi cara menentukan luas segitiga sembarang atau segitiga tidak beraturan. Source Pada pembahasan sebelumnya, kita telah berlatih untuk melukis lingkaran dalam dari suatu segitiga. Dengan senang hati, kita akan bantu. Di mana, sisi alas dan tinggi pada segitiga tidak berturan tidak dapat dikenali secara mudah. Luas dari segitiga paling kanan dapat ditentukan dengan dua cara. Cara mudah menentukan panjang garis singgung lingkaran. Source Lingkaran dalam dan lingkaran luar segitiga. K = 2 x 22/7 x 14 cm. Belajar menggambar lingkaran melalui tiga titik Lingkaran dalam dan lingkaran luar segitiga. Di mana sisi alas dan tinggi pada segitiga. Source Kali ini kita akan membahas materi lingkaran dalam dan lingkaran luar sebelumnya, sebaiknya kita baca dulu materi aturan sinus pada artikel penerapan trigonometri pada segitiga Jika ada kesulitan, silahkan tuliskan di kolom komentar di bawah. Cara menghitung jari jari radius bola jika diketahui. Dengan senang hati, kita akan bantu. S = ½ keliling segitiga. Source Untuk menjawab pertanyaan tersebut, perhatikan permasalahan mengenai lingkaran dalam segitiga berikut Melukis lingkaran dalam dan lingkaran luar suatu segitiga. Luas segibanyak luar beraturan senantiasa lebih besar daripada luas lingkaran sedangkan luas segibanyak dalam beraturan lebih. Pada pembahasan sebelumnya, kita telah berlatih untuk melukis lingkaran dalam dari suatu segitiga. Persamaan lingkaran yang berpusat di o. Source Dalam kesempatan kali ini kita akan mempelajari mengenai cara menentukan panjang garis singgung lingkaran dari satu titik di luar lingkaran. Panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran ialah 12 cm. Lebih spesifik lagi belajar menentukan panjang garis singgung dua buah lingkaran. Diberikan suatu segitiga yang panjang ketiga sisinya adalah a, b, dan c. Rumus menghitung panjang jari jari lingkaran luar segitiga. Source Menentukan jari jari diameter luas dan keliling. S e g i t i g a. Matematikawan euclid yang hidup sekitar tahun 300 sm menemukan bahwa jumlah ketiga sudut di suatu segi tiga adalah 180 derajat. Persamaan lingkaran yang berpusat di o. Dengan senang hati, kita akan bantu. Source Cara mudah menentukan panjang garis singgung lingkaran. Panjang garis singgung persekutuan luar dua lingkaran ialah 12 cm. Dalam kesempatan kali ini kita akan mempelajari mengenai cara menentukan panjang garis singgung lingkaran dari satu titik di luar lingkaran. Aturan sinus, aturan cosinus, luas segitiga. Di mana sisi alas dan tinggi pada segitiga. Source Dalam soal matematika mengenai lingkaran dalam segitiga, biasanya hanya diketahui panjang sisi segitiga saja. Belajar menggambar lingkaran melalui tiga titik Selain itu, ulasan materi juga meliputi cara menentukan luas segitiga sembarang atau segitiga tidak beraturan. Dalam kesempatan kali ini kita akan mempelajari mengenai cara menentukan panjang garis singgung lingkaran dari satu titik di luar lingkaran. R = 1/2 cd = a x b x c / 4l. Source Di mana, sisi alas dan tinggi pada segitiga tidak berturan tidak dapat dikenali secara mudah. Menentukan jari jari diameter luas dan keliling. Siswa dapat menghitung panjang garis singgung. Diberikan suatu segitiga yang panjang ketiga sisinya adalah a, b, dan c. Luas dari segitiga paling kanan dapat ditentukan dengan dua cara. Source Jarak kedua pusat lingkaran 13 cm. S e g i t i g a. Semoga ulasan mengenai lingkaran luar segitiga di atas dapat bermanfaat bagi anda. Lingkaran dalam segitiga merupakan lingkaran yang memiliki titik pusat di perpotongan garis bagi dari ketiga sisi suatu segitiga. Matematikawan euclid yang hidup sekitar tahun 300 sm menemukan bahwa jumlah ketiga sudut di suatu segi tiga adalah 180 derajat. Source Lingkaran dalam dan lingkaran luar segitiga. Semoga ulasan mengenai lingkaran luar segitiga di atas dapat bermanfaat bagi anda. Menentukan panjang jari jari lingkaran dalam segitiga sama sisi. Masukkan keliling pada soal ke dalam c Muhamad husni mubaraq pendidikan matematika 4101410001 husnialqandali 4. Source Maka jawaban yang benar adalah c. Luas dari segitiga paling kanan dapat ditentukan dengan dua cara. Untuk mengetahui besar jari jari dari lingkaran tersebut digunakan rumus berikut. Matematikawan euclid yang hidup sekitar tahun 300 sm menemukan bahwa jumlah ketiga sudut di suatu segi tiga adalah 180 derajat. Lingkaran dalam segitiga merupakan lingkaran yang memiliki titik pusat di perpotongan garis bagi dari ketiga sisi suatu segitiga. Source Lingkaran dalam dan lingkaran luar segitiga idschool. Aturan sinus, aturan cosinus, luas segitiga. Matematikawan euclid yang hidup sekitar tahun 300 sm menemukan bahwa jumlah ketiga sudut di suatu segi tiga adalah 180 derajat. K = 2 x 22/7 x 14 cm. L = ½×r a+b+c l = rs. This site is an open community for users to do submittion their favorite wallpapers on the internet, all images or pictures in this website are for personal wallpaper use only, it is stricly prohibited to use this wallpaper for commercial purposes, if you are the author and find this image is shared without your permission, please kindly raise a DMCA report to Us. If you find this site good, please support us by sharing this posts to your preference social media accounts like Facebook, Instagram and so on or you can also bookmark this blog page with the title menentukan panjang jari jari lingkaran dalam segitiga by using Ctrl + D for devices a laptop with a Windows operating system or Command + D for laptops with an Apple operating system. If you use a smartphone, you can also use the drawer menu of the browser you are using. Whether it’s a Windows, Mac, iOS or Android operating system, you will still be able to bookmark this website. Postingan ini Mafia Online buat karena ada pecinta Mafia yang bertanya pada postingan yang berjudul “Contoh Soal dan PembahasanJari-Jari Lingkaran Dalam Segitiga”. Berikut isi pertanyaannya “Aku mau nanya dong, kalau misalkan yang diketahui hanya r dalam lingkaran dan yang ditanyai adalah keliling segitiga sama sisi itu gimana ya caranya?” Karena si penanya bertanya pada postingan tentang contoh soal dan pembahasan jari-jari lingkaran dalam segitiga, maka Mafia Online anggap lingkaran tersebut berada di dalam segitiga seperti gambar di bawah ini. Untuk menjawab soal tersebut Anda harus paham dengan konsep cara menentukan panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga, luas segitiga, dan keliling segitiga. Oke sekarang kita selesaikan permasalahan di atas. Kita ketahui bahwa rumus untuk mencari panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga yakni r = Luas Δ/s dimana r merupakan jari-jari lingkaran, merupakan segitiga dan s merupakan setengah keliling segigtiga. Luas segitiga sama sisi dengan panjang sisi a dapat kita cari dengan menggunakan cara cepat yakni L = ¼a2√3 Dengan mensubstitusi L = ¼a2√3 maka panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga yakni r = Luas Δ/s r = ¼a2√3/s r = a2√3/4s Kita ketahui bahwa s sama dengan setengah keliling K segitiga, maka s = ½K Dengan mensubstitusi s = ½K maka panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga yakni r = a2√3/4s r = a2√3/4½K r = a2√3/2K Keliling segitiga dapat kita cari dengan menjumlahkan semua sisinya, karena segitiga sama sisi memiliki panjang sisi yang sama, maka rumus keliling segitiga sama sisi yakni K = 3a => a = K/3 Dengan mensubstitusi a = K/3 maka panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga yakni r = a2√3/2K r = K/32√3/2K r = K2/9√3/2K r = K√3/18 = K√3 K = 18r/√3 K = 18r√3/3 K = 6r√3 Jadi jika lingkaran dengan jari-jari r berada di dalam segitiga sama sisi maka keliling segitiga sama sisi K tersebut adalah K = 6r√3 Untuk memantapkan pemahaman Anda silahkan simak contoh soal di bawah ini. Contoh Soal 1 Diketahui panjang sisi-sisi sebuah segitiga sama sisi adalah 8 cm. Hitunglah panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga sama sisi tersebut. Penyelesaian Cara I s = ½ keliling segitiga s = ½ 3a s = ½ 3 . 8 cm s = 12 cm L Δ = √ss-as-bs-c L Δ = √ss-as-as-a L Δ = √1212-812-812-8 L Δ = √12 . 4 . 4 . 4 L Δ = √768 L Δ = √256 . 3 L Δ = 16√3 cm2 r = L Δ/s r = 16√3 cm2/12 r = 4/3√3 cm Cara II K = 6r√3 3a = 6r√3 = 6r√3 4 = r√3 r = 4/√3 r = 4/3√3 cm Jadi panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga sama sisi tersebut adalah 4/3√3 cm Contoh Soal 2 Sebuah lingkaran berjari-jari 7 cm tepat berada di dalam segitiga sama sisi. Hitunglah keliling dan luas segitiga sama sisi tersebut! Penyelesaian Untuk mencari keliling segitiga gunakan rumus di atas yakni K = 6r√3 K = 67 cm√3 K = 42√3 cm Untuk mencari luas segitiga, pertama harus diketahui sisinya terlebih dahulu, yakni K = 3a a = K/3 a = 42√3 cm/3 a = 14√3 cm Dengan menggunakan rumus cara cepat maka luas segitiga sama sisi yakni L = ¼a2√3 L = ¼14√3 cm2√3 L = 147√3 cm Jadi keliling dan luas segitiga sama sisi tersebut adalah 147√3 cm. Demikianlah postingan Mafia Online tentang cara menentukan panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga sama sisi. Sekarang bagaimana kalau lingkaran tersebut berada di luar segitiga sama sisi? Bagaimana cara menentukan panjang jari-jari lingkaran yang berada di luar segitiga sama sisi? Mohon maaf jika ada kata-kata atau perhitungan yang salah dalam postingan di atas. Jika ada permasalahan mengenai pembahasan di atas silahkan tanyakan di kolom komentar. Salam Mafia. TOLONG DIBAGIKAN YA Segitiga adalah bangun datar paling sederhana yang berdiri dengan tiga sisi dan tiga titik sudut. Selain itu, ada lingkaran yang hadir dengan sisi lengkungnya yang membentuk bulat sempurna. Keduanya sering kita temukan dalam kehidupan sehari-hari. Segitiga memiliki keliling dan luas. Lingkaran juga memiliki keliling circumference, tetapi luasnya kadang diperdebatkan. Ini terjadi karena adanya definisi yang mengatakan bahwa lingkaran adalah himpunan titik-titik yang berjarak sama terhadap satu titik tertentu yang disebut sebagai titik pusat. Definisi ini menunjukkan bahwa lingkaran bukanlah bangun datar. Andaikan “lingkaran” yang kita maksud di sini adalah sisi lengkung beserta interior daerah yang dibatasi oleh sisi lengkung itu, maka lingkaran juga memiliki luas karena ia dapat dipandang sebagai bangun datar. Jadi, setiap kali kita berbicara tentang “luas lingkaran”, itu merujuk pada luas daerah yang dibatasi oleh lingkaran. Ada hubungan spesial yang dapat kita temukan dari segitiga dan lingkaran. Setiap kali kita menggambar segitiga sembarang, apa pun bentuknya, kita selalu bisa menggambarkan lingkaran di dalamnya yang menyinggung setiap sisi segitiga. Lingkaran seperti ini disebut juga sebagai lingkaran dalam. Selain itu, setiap kali kita menggambar segitiga sembarang, kita juga bisa membuat lingkaran di luarnya yang melalui ketiga titik sudut segitiga. Lingkaran ini disebut sebagai lingkaran luar. Mari kita telaah lebih lanjut dengan diawali oleh definisi berikut. Definisi Lingkaran Dalam Segitiga Lingkaran dalam segitiga incircle didefinisikan sebagai lingkaran yang terletak di dalam segitiga dan menyinggung ketiga sisi segitiga tersebut. Gambar berikut menunjukkan $\triangle ABC$ dan lingkaran dalamnya. Definisi Lingkaran Luar Segitiga Lingkaran luar segitiga excircle didefinisikan sebagai lingkaran yang terletak di luar segitiga dan menyinggung ketiga sisi atau perpanjangan sisi segitiga tersebut. Gambar berikut menunjukkan $\triangle ABC$ dan lingkaran luarnya. Ada teorema terkait lingkaran dalam dan lingkaran luar segitiga. Teorema tersebut memberi hubungan terkait panjang sisi segitiga, luas segitiga, panjang jari-jari lingkaran, dan luas lingkaran. Sebelum kita lanjut, kita diharapkan sudah memahami penggunaan teorema Pythagoras pada segitiga siku-siku terlebih dahulu. Teorema tersebut diberikan sebagai berikut. Teorema Panjang Jari-Jari Lingkaran Dalam Segitiga Diketahui segitiga sembarang $ABC.$ Jika segitiga tersebut memiliki luas $L_{\triangle ABC}$ dan setengah dari kelilingnya adalah $s = \dfrac12AB + AC + BC,$ maka panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga tersebut sama dengan $$r = \dfrac{L_{\triangle ABC}}{s}.$$ Bukti Misalkan terdapat $\triangle ABC$ dan lingkaran dalam dengan pusat $O$ dan berjari-jari $r.$ Tarik garis dari titik $O$ ke setiap sisi segitiga tepat di titik singgung lingkaran, yakni $D, E, F$ sehingga saling tegak lurus seperti gambar berikut. Dengan menggunakan garis bantu garis putus-putus yang ditarik dari titik $O$ ke titik sudut segitiga, kita peroleh tiga segitiga berbeda, yaitu $\triangle AOC, \triangle BOC,$ dan $\triangle AOB.$ Luas total $\triangle ABC$ sama dengan jumlahan luas ketiga segitiga tersebut. $$\begin{aligned} L_{\triangle ABC} & = L_{\triangle AOC} + L_{\triangle BOC} + L_{\triangle AOB} \\ L_{\triangle ABC} & = \left\dfrac12 \cdot BC \cdot r\right + \left\dfrac12 \cdot AC \cdot r\right + \left\dfrac12 \cdot AB \cdot r\right \\ L_{\triangle ABC} & = \dfrac12BC + AC + ABr \\ r & = \dfrac{L_{\triangle ABC}}{\dfrac12BC + AC + AB} \\ r & = \dfrac{L_{\triangle ABC}}{s} \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa panjang jari-jari lingkaran dalamnya adalah $r = \dfrac{L_{\triangle ABC}}{s}.$ $\blacksquare$ [collapse] Teorema Panjang Jari-Jari Lingkaran Luar Segitiga Diketahui segitiga sembarang $ABC.$ Jika segitiga tersebut memiliki luas $L_{\triangle ABC},$ maka panjang jari-jari lingkaran luar segitiga tersebut sama dengan $$R = \dfrac{AB \cdot AC \cdot BC}{4 \cdot L_{\triangle ABC}}.$$ Bukti Misalkan terdapat $\triangle ABC$ dan lingkaran luar dengan pusat $O$ dan berjari-jari $R.$ Tarik garis tinggi segitiga dari salah satu titik sudut, misalnya dari titik $C.$ Titik tingginya kita sebut sebagai titik $D.$ Selanjutnya, tarik garis dari $C$ ke sisi lingkaran di seberangnya sehingga melalui titik pusat $O.$ Perhatikan bahwa $\angle EAC$ siku-siku karena merupakan sudut keliling yang menghadap diameter lingkaran. Selain itu, $\angle AEC = \angle CBD = \theta$ karena menghadap busur yang sama, yaitu $AC.$ Diketahui juga bahwa $CE = 2R$ karena merupakan diameter lingkaran. Perhatikan $\triangle BCD$ dan $\triangle AEC.$ Kedua segitiga ini sebangun $\triangle BCD \sim \triangle AEC$ karena ada dua sudut yang bersesuaian sama besar. Kesebandingan sisinya adalah $$\begin{aligned} CE & \propto BC \\ AC & \propto CD \\ AE & \propto BD. \end{aligned}$$Berdasarkan kesebangunan tersebut, kita peroleh $$\begin{aligned} \dfrac{CE}{BC} & = \dfrac{AC}{CD} \\ \dfrac{2R}{BC} & = \dfrac{AC}{CD} \\ 2R \cdot CD & = BC \cdot AC \\ R & = \dfrac{BC \cdot AC}{2 \cdot CD} \color{red}{\times \dfrac{AB}{AB}} \\ R & = \dfrac{AB \cdot BC \cdot AC}{2 \cdot CD \cdot AB} \\ R & = \dfrac{AB \cdot BC \cdot AC}{4 \cdot \dfrac12 \cdot CD \cdot AB} \\ R & = \dfrac{AB \cdot BC \cdot AC}{4 L_{\triangle ABC}} \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa panjang jari-jari lingkaran luarnya adalah $R = \dfrac{AB \cdot AC \cdot BC}{4 \cdot L_{\triangle ABC}}.$ $\blacksquare$ [collapse] Beberapa soal tentang lingkaran dalam dan lingkaran luar segitiga telah disusun beserta pembahasannya di bawah ini. Semoga dapat dijadikan sebagai bahan untuk meningkatkan pemahaman terkait materi yang kita bahas. Today Quote I would rather own little and see the world… than own the world and see little of it. Bagian Pilihan Ganda Soal Nomor 1 Perhatikan gambar berikut. Jika panjang $AC$ dan $BC$ berturut-turut adalah $8$ cm dan $15$ cm, maka panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga tersebut adalah $\cdots \cdot$ A. $2,5$ cm D. $5,0$ cm B. $3,0$ cm E. $6,0$ cm C. $4,0$ cm Pembahasan Segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku dengan panjang alas = $8~\text{cm}$ dan tinggi = $15~\text{cm}.$ Karena siku-siku, teorema Pythagoras dapat dipakai untuk mencari panjang sisi satunya. $$\begin{aligned} AB & = \sqrt{8^2+15^2} \\ & = \sqrt{289} \\ & = 17~\text{cm} \end{aligned}$$Panjang jari-jari lingkaran dalam dapat dicari dengan membagi luas segitiga $L$ terhadap setengah kelilingnya $s.$ $$\begin{aligned} r & = \dfrac{L}{s} \\ & = \dfrac{\dfrac12 \cdot 8 \cdot 15}{\dfrac128 + 15 + 17} \\ & = \dfrac{60}{20} \\ & = 3~\text{cm} \end{aligned}$$Jadi, panjang jari-jari lingkaran dalamnya adalah $\boxed{3,0~\text{cm}}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 2 Suatu segitiga ditempatkan pada bidang koordinat Kartesius sehingga titik sudutnya di $0, 0, 6, 0,$ dan $0, 12.$ Panjang jari-jari lingkaran dalamnya adalah $\cdots \cdot$ A. $6 + 3\sqrt5$ B. $6-3\sqrt5$ C. $9+3\sqrt5$ D. $9-3\sqrt5$ E. $12+3\sqrt5$ Pembahasan Perhatikan gambar berikut. Segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku dengan panjang alas = $6$ dan tinggi = $12.$ Karena siku-siku, teorema Pythagoras dapat dipakai untuk mencari panjang sisi satunya. $$\begin{aligned} x & = \sqrt{6^2+12^2} \\ & = \sqrt{180} \\ & = 6\sqrt5 \end{aligned}$$Panjang jari-jari lingkaran dalam dapat dicari dengan membagi luas segitiga $L$ terhadap setengah kelilingnya $s.$ $$\begin{aligned} r & = \dfrac{L}{s} \\ & = \dfrac{\dfrac12 \cdot 6 \cdot 12}{\dfrac1212 + 6 + 6\sqrt5} \\ & = \dfrac{12}{3 + \sqrt5} \color{red}{\times \dfrac{3-\sqrt5}{3-\sqrt5}} \\ & = \dfrac{\cancelto{3}{12}3-\sqrt5}{\cancel{4}} \\ & = 9-3\sqrt5 \end{aligned}$$Jadi, panjang jari-jari lingkaran dalamnya adalah $\boxed{9-3\sqrt5}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 3 Gambar berikut menunjukkan segitiga $ABC$ dengan sudut siku-siku di $A.$ Luas daerah yang diberi warna biru adalah $\cdots \cdot$ A. $54-6\pi~\text{cm}^2$ B. $54-9\pi~\text{cm}^2$ C. $54-12\pi~\text{cm}^2$ D. $36-4\pi~\text{cm}^2$ E. $36-9\pi~\text{cm}^2$ Pembahasan Untuk mencari luas daerah yang diberi warna biru, kita harus mencari luas segitiga, kemudian dikurangi dengan luas lingkaran dalam. Segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku dengan panjang sisi $AB= 9~\text{cm}$ dan $BC = 15~\text{cm}.$ Karena siku-siku, teorema Pythagoras dapat dipakai untuk mencari panjang sisi satunya. $$\begin{aligned} AC & = \sqrt{15^2-9^2} \\ & = \sqrt{144} \\ & = 12~\text{cm} \end{aligned}$$Panjang jari-jari lingkaran dalam dapat dicari dengan membagi luas segitiga $L_{\triangle}$ terhadap setengah kelilingnya $s.$ $$\begin{aligned} r & = \dfrac{L_{\triangle}}{s} \\ & = \dfrac{\dfrac12 \cdot 9 \cdot 12}{\dfrac129 + 12 + 15} \\ & = \dfrac{9 \cdot \cancel{12}}{\cancelto{3}{36}} \\ & = 3~\text{cm} \end{aligned}$$Dengan demikian, luas lingkaran sama dengan $L_{O} = \pi r^2 = \pi 3^2 = 9\pi~\text{cm}^2,$ sedangkan luas segitiga sama dengan $L_{\triangle} = \dfrac12912 = 54~\text{cm}^2.$ Jadi, luas daerah yang diberi warna biru adalah $$\begin{aligned} L_{\text{biru}} & = L_{\triangle}-L_{O} \\ & = \dfrac12912-9\pi \\ & = 54-9\pi~\text{cm}^2. \end{aligned}$$Jawaban B [collapse] Soal Nomor 4 Suatu segitiga memiliki lingkaran dalam. Keliling lingkaran tersebut adalah $\dfrac83\pi~\text{cm}.$ Jika luas segitiga tersebut adalah $12~\text{cm}^2,$ maka keliling segitiga sama dengan $\cdots \cdot$ A. $12~\text{cm}$ D. $22~\text{cm}$ B. $16~\text{cm}$ E. $24~\text{cm}$ C. $18~\text{cm}$ Pembahasan Karena keliling lingkarannya $\dfrac83\pi,$ kita peroleh $$\begin{aligned} k & = 2\pi r \\ \dfrac83\pi & = 2\pi r \\ r & = \dfrac43. \end{aligned}$$Karena lingkaran tersebut merupakan lingkaran dalam segitiga, maka berlaku hubungan berikut. $$r = \dfrac{L_{\triangle}}{s}$$Diketahui $L_{\triangle} = 12~\text{cm}^2.$ Kita akan mencari nilai dari $2s$ sebagaimana bahwa $s$ adalah setengah keliling segitiga. $$\begin{aligned}\dfrac43 & = \dfrac{12}{s} \\ s & = 12 \cdot \dfrac34 \\ s & = 9 \\ 2s & = 18 \end{aligned}$$Jadi, keliling segitiga tersebut adalah $\boxed{18~\text{cm}}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 5 Perhatikan gambar berikut. $\triangle ABC$ adalah segitiga siku-siku. Lingkaran di dalamnya menyinggung setiap sisi segitiga dengan $O$ sebagai titik pusatnya. Luas $\triangle BOC$ adalah $\cdots \cdot$ A. $9~\text{cm}^2$ D. $15~\text{cm}^2$ B. $10~\text{cm}^2$ E. $17~\text{cm}^2$ C. $13~\text{cm}^2$ Pembahasan Jika kita menarik jari-jari dari pusat lingkaran ke sisi $BC$ di titik $P,$ maka kita akan peroleh garis tinggi $\triangle BOC$ karena $P$ adalah titik singgung lingkaran. Jadi, luas $\triangle BOC$ dapat kita hitung jika panjang $BC$ dan $OP$ $BC$ dapat dicari dengan menggunakan teorema Pythagoras pada $\triangle ABC.$ $$\begin{aligned} BC & = \sqrt{AB^2 + AC^2} \\ & = \sqrt{12^2 + 5^2} \\ & = \sqrt{169} \\ & = 13~\text{cm} \end{aligned}$$Panjang $OP$, yaitu jari-jari lingkaran dalam segitiga, dapat dicari dengan membagi luas $\triangle ABC$ terhadap setengah kelilingnya. $$\begin{aligned} OP & = \dfrac{L_{\triangle ABC}}{s_{\triangle ABC}} \\ & = \dfrac{\dfrac12 \cdot 12 \cdot 5}{\dfrac125 + 12 + 13} \\ & = \dfrac{60}{30} \\ & = 2~\text{cm} \end{aligned}$$Jadi, luas $\triangle BOC$ adalah $$\dfrac12 \cdot OP \cdot BC = \dfrac12 \cdot 2 \cdot 13 = 13~\text{cm}^2.$$Jawaban C [collapse] Soal Nomor 6 Jika nilai luas dan keliling dari suatu segitiga adalah sama, maka panjang jari-jari lingkaran dalamnya sama dengan $\cdots \cdot$ A. $1$ C. $3$ E. $6$ B. $2$ D. $4$ Pembahasan Diketahui $L_{\triangle} = k_{\triangle}.$ Panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga ditentukan oleh $r = \dfrac{L_{\triangle}}{s}$ dengan $s = \dfrac12k_{\triangle}.$ $$\begin{aligned} r = \dfrac{L_{\triangle}}{\dfrac12k_{\triangle}} = \dfrac{\cancel{k_{\triangle}}}{\dfrac12\cancel{k_{\triangle}}} = \dfrac{1}{\dfrac12} = 2 \end{aligned}$$Jadi, panjang jari-jari lingkaran dalamnya sama dengan $\boxed{2}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 7 Sebuah segitiga siku-siku mempunyai panjang sisi berpenyiku masing-masing $15$ cm dan $36$ cm. Jika sebuah lingkaran akan dibuat, maka panjang jari-jari lingkaran terkecil yang dapat menutupi segitiga itu adalah $\cdots \cdot$ A. $18,0$ cm D. $21,5$ cm B. $19,0$ cm E. $24,0$ cm C. $19,5$ cm Pembahasan Lingkaran terkecil yang dapat menutupi segitiga adalah lingkaran luar segitiga itu, artinya lingkaran yang melalui ketiga titik sudut segitiga seperti gambar berikut. Pertama, kita cari dulu panjang $AC$ dengan menggunakan rumus Pythagoras. $$\begin{aligned} AC & = \sqrt{AB^2 + BC^2} \\ & = \sqrt{36^2 + 15^2} \\ & = \sqrt{3^212^2 + 5^2} \\ & = 3\sqrt{169} \\ & = 39~\text{cm} \end{aligned}$$Panjang jari-jari lingkaran luar segitiga dapat kita cari dengan cara mengalikan panjang ketiga sisi segitiga, lalu dibagi dengan 4 kali luas segitiga. $$\begin{aligned} R & = \dfrac{\cancel{AB} \cdot AC \cdot \cancel{BC}}{4 \cdot \dfrac12 \cdot \cancel{AB} \cdot \cancel{BC}} \\ R & = \dfrac{AC}{2} = \dfrac{39}{2} = 19,5~\text{cm} \end{aligned}$$Jadi, panjang jari-jari lingkaran terkecil yang dapat menutupi segitiga itu adalah $\boxed{19,5~\text{cm}}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 8 Sebuah segitiga mempunyai luas $6\sqrt6~\text{cm}^2.$ Jika panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga adalah $\dfrac23\sqrt6~\text{cm},$ maka panjang ketiga sisi segitiga tersebut yang mungkin dalam satuan cm adalah $\cdots \cdot$ A. $14, 16, 18$ B. $11, 15, 19$ C. $12, 15, 18$ D. $9, 12, 20$ E. $9, 12, 18$ Pembahasan Hubungan luas segitiga dan jari-jari lingkaran dalamnya dinyatakan oleh $$\boxed{r = \dfrac{L_{\triangle}}{s}$$dengan $s$ sama dengan setengah dari keliling segitiga. Jadi, kita akan menggunakan ini untuk mencari nilai dari keliling segitiga. Diketahui $L_{\triangle} = 6\sqrt6~\text{cm}^2$ dan $r = \dfrac23\sqrt6~\text{cm}.$ $$s = \dfrac{L_{\triangle}}{r} = \dfrac{6\sqrt6}{\dfrac23\sqrt6} = 19~\text{cm}$$Artinya, keliling segitiga sama dengan $2 \cdot 19 = 38~\text{cm}.$ Keliling didapat dengan cara menjumlahkan ketiga panjang sisi segitiga. Jadi, dari lima opsi jawaban di atas, kita hanya perlu mencari pasangan tiga bilangan yang bila dijumlahkan menghasilkan $39.$ Setelah diselidiki, kita peroleh bahwa panjang ketiga sisi segitiga yang mungkin adalah $9, 12, 18$ cm karena $9 + 12 + 18 = 39.$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 9 Perhatikan gambar berikut. Luas lingkaran di atas adalah $\cdots \cdot$ A. $\dfrac{ B. $\dfrac{ C. $\dfrac{ D. $\dfrac{ E. $\dfrac{ Pembahasan Luas lingkaran dapat ditentukan jika jari-jarinya diketahui. Panjang jari-jari lingkaran luar segitiga dapat dicari dengan menggunakan formula $R = \dfrac{abc}{4L_{\triangle}}.$ Jadi, kita mesti mencari luas segitiga terlebih dahulu dengan menggunakan rumus Heron. Diketahui setengah keliling segitiga sama dengan $s = \dfrac1210+17+21 = 24$ cm sehingga $$\begin{aligned} L_{\triangle} & = \sqrt{ss-as-bs-c} \\ & = \sqrt{2424-1024-1724-21} \\ & = \sqrt{241473} \\ & = \sqrt{2^3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 3} \\ & = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} \\ & = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 \\ & = 84~\text{cm}^2. \end{aligned}$$Dengan demikian, didapat $$\begin{aligned} R & = \dfrac{abc}{4L_{\triangle}} \\ & = \dfrac{\cancelto{5}{10} \cdot 17 \cdot \cancel{21}}{\cancelto{2}{4} \cdot \cancelto{4}{84}} \\ & = \dfrac{85}{8}~\text{cm} \end{aligned}$$Jadi, luas lingkaran luar sama dengan $$L = \pi R^2 = \cdot \left\dfrac{85}{8}\right^2\pi = \dfrac{ A [collapse] Soal Nomor 10 Lingkaran dalam dan lingkaran luar akan dilukiskan pada segitiga $PQR$ yang memiliki sudut siku-siku di $P.$ Jika panjang $PQ = 8$ cm dan $PR = 15$ cm, maka perbandingan panjang jari-jari lingkaran dalam dan luarnya adalah $\cdots \cdot$ A. $3 13$ D. $6 17$ B. $6 13$ E. $9 17$ C. $3 17$ Pembahasan Perhatikan gambar $QR$ dapat dicari dengan menggunakan teorema Pythagoras pada $\triangle PQR.$ $$\begin{aligned} QR & = \sqrt{PQ^2 + PR^2} \\ & = \sqrt{8^2 + 15^2} \\ & = \sqrt{289} \\ & = 17~\text{cm} \end{aligned}$$Panjang jari-jari lingkaran dalam dihitung dengan cara berikut. $$\begin{aligned} r & = \dfrac{L}{s} \\ & = \dfrac{\dfrac12 \cdot 8 \cdot 15}{\dfrac128 + 15 + 17} \\ & = \dfrac{120}{40} = 3~\text{cm} \end{aligned}$$Panjang jari-jari lingkaran luar dihitung dengan cara berikut. $$\begin{aligned} R & = \dfrac{PQ \cdot PR \cdot QR}{4 \cdot \dfrac12 \cdot PQ \cdot PR} \\ & = \dfrac{QR}{2} \\ & = \dfrac{17}{2}~\text{cm} \end{aligned}$$Dengan demikian, perbandingan panjang jari-jari lingkaran dalam dan luar segitiga tersebut adalah $\boxed{r R = 3 \dfrac{17}{2} = 6 17}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 11 Diberikan segitiga $ABC$ dengan $\angle ABC = 50^\circ.$ Titik $I$ merupakan titik pusat lingkaran dalam segitiga $ABC.$ Titik $O$ merupakan titik pusat lingkaran luar segitiga $AIC.$ Besar $\angle AOC$ adalah $\cdots \cdot$ A. $115^\circ$ D. $150^\circ$ B. $130^\circ$ E. $160^\circ$ C. $145^\circ$ Pembahasan Misalkan kita memiliki $\triangle ABC$ dengan $\angle ABC = 50^\circ.$ Gambarkan lingkaran dalamnya dengan pusat $I.$ Kemudian, gambarkan lingkaran luar $\triangle AIC$ dengan pusat $O.$ Posisikan titik $P$ di sembarang titik pada lingkaran sehingga terbentuk segi empat tali busur $PAIC$ seperti gambar bahwa titik $I$ titik pusat lingkaran dalam adalah titik perpotongan ketiga garis bagi pada $\triangle ABC.$ Garis bagi akan membagi dua sudut sama besar sehingga $\angle ACI = \angle BCI = \alpha$ dan $\angle CAI = \angle BAI = \beta.$ Jumlah sudut dalam segitiga adalah $180^\circ$ sehingga dapat kita tuliskan $$\begin{aligned} \angle A + \angle B + \angle C & = 180^\circ \\ \beta + \beta + 50^\circ + \alpha + \alpha & = 180^\circ \\ 2\beta + 2\alpha & = 130^\circ \\ \alpha + \beta & = 65^\circ. \end{aligned}$$Selanjutnya, perhatikan $\triangle AIC$ yang jumlah ketiga sudutnya tentu saja $180^\circ.$ $$\begin{aligned} \angle AIC + \angle ACI + \angle CAI & = 180^\circ \\ \angle AIC + \alpha + \beta & = 180^\circ \\ \angle AIC + 65^\circ & = 180^\circ \\ \angle AIC & = 115^\circ \end{aligned}$$Pada segi empat tali busur lingkaran, jumlah sudut yang berhadapan selalu $180^\circ.$ Dengan kata lain, $\angle AIC + \angle APC = 180^\circ$ sehingga berakibat $\angle APC = 65^\circ.$ Karena $\angle APC$ adalah sudut keliling yang menghadap busur $AC,$ sedangkan $\angle AOC$ merupakan sudut pusatnya, maka $\angle AOC = 2 \times \angle APC = 2 \times 65^\circ = 130^\circ.$ Jadi, besar $\angle AOC$ adalah $\boxed{130^\circ}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 12 Diketahui $\triangle ABC$ dengan $AC = 8$ cm dan $\angle ABC = 60^\circ.$ Jika panjang jari-jari lingkaran luarnya adalah $R,$ maka nilai dari $3R^2 = \cdots \cdot$ A. $16~\text{cm}^2$ D. $64~\text{cm}^2$ B. $25~\text{cm}^2$ E. $100~\text{cm}^2$ C. $36~\text{cm}^2$ Pembahasan Perhatikan gambar berikut. Kita akan mencari panjang jari-jari lingkaran luar $R$ dengan menggunakan hubungan panjang sisi dan luas segitiga. Kita juga akan menggunakan trigonometri untuk menentukan luas segitiga bahwa $L_{\triangle} = \dfrac12 \cdot AB \cdot BC \cdot \sin B.$ $$\begin{aligned} R & = \dfrac{AB \cdot AC \cdot BC}{4 \cdot L_{\triangle ABC}} \\ & = \dfrac{\cancel{AB} \cdot AC \cdot \bcancel{BC}}{4 \cdot \dfrac12 \cdot \cancel{AB} \cdot \bcancel{BC} \sin A} \\ & = \dfrac{AC}{2 \cdot \sin 60^\circ} = \dfrac{8}{2 \cdot \dfrac12\sqrt3} = \dfrac{8}{\sqrt3}~\text{cm} \end{aligned}$$Karena $R = \dfrac{8}{\sqrt3}$ cm, maka nilai dari $3R^2 = 3\left\dfrac{8}{\sqrt3}\right^2 = 64~\text{cm}^2.$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 13 Sebuah lingkaran memiliki panjang jari-jari $1.$ Luas maksimum segitiga sama sisi yang dapat dibuat di dalam lingkaran tersebut adalah $\cdots \cdot$ A. $\dfrac12\sqrt3$ D. $\sqrt3$ B. $\dfrac14\sqrt3$ E. $\dfrac32\sqrt3$ C. $\dfrac34\sqrt3$ Pembahasan Misalkan kita mempunyai $\triangle ABC.$ Agar luas segitiganya maksimum, titik sudutnya harus terletak pada sisi lingkaran seperti gambar. Perhatikan bahwa hubungan panjang jari-jari lingkaran luar segitiga $R,$ panjang sisi segitiga, dan sudut segitiga diberikan oleh $R = \dfrac{a}{2 \sin A}.$ Diketahui $R = 1$ dan $\angle A = 60^\circ$ karena segitiga sama sisi sehingga kita peroleh $$\begin{aligned} 1 = \dfrac{a}{2 \sin 60^\circ} \Leftrightarrow a = 2 \sin 60^\circ = 2 \cdot \dfrac12\sqrt3 = \sqrt3. \end{aligned}$$Karena segitiganya sama sisi, maka $a = b = c = \sqrt3.$ Dengan demikian, luas segitiga $L$ dapat kita tentukan dengan beberapa cara, salah satunya dengan cara berikut. $$\begin{aligned} R & = \dfrac{abc}{4L} \\ L & = \dfrac{abc}{4R} = \dfrac{\sqrt3 \cdot \sqrt3 \cdot \sqrt3}{41} = \dfrac34\sqrt3 \end{aligned}$$Jadi, luas maksimum segitiga sama sisi yang dapat dibuat di dalam lingkaran tersebut adalah $\boxed{\dfrac34\sqrt3}$ Jawaban C [collapse] Bagian Uraian Soal Nomor 1 Panjang sisi-sisi dari suatu segitiga adalah $15$ cm, $20$ cm, dan $25$ cm. Tentukan keliling segitiga; luas segitiga; dan panjang jari-jari lingkaran dalamnya. Pembahasan Perhatikan bahwa segitiga tersebut merupakan segitiga siku-siku karena panjang sisinya memenuhi rumus Pythagoras, yaitu $15^2 + 20^2 = 25^2.$ Jawaban a Keliling segitiga didapat dengan menjumlahkan ketiga panjang sisinya. $$k_{\triangle} = 15 + 20 + 25 = 60~\text{cm}$$Jadi, keliling segitiga tersebut adalah $\boxed{60~\text{cm}}$ Jawaban b Segitiga tersebut siku-siku dengan alas $15$ cm dan tinggi $20$ cm sehingga luasnya dapat dihitung dengan cara berikut. $$L_{\triangle} = \dfrac{1}{\cancel{2}} \cdot 15 \cdot \cancelto{10}{20} = 150~\text{cm}^2$$Jadi, luas segitiga tersebut adalah $\boxed{150~\text{cm}^2}}$ Jawaban c Perhatikan gambar berikut. Panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga dapat dicari dengan membagi luas segitiga terhadap setengah kelilingnya. $$r = \dfrac{L_{\triangle}}{s} = \dfrac{150}{\frac12 \cdot 60} = 5~\text{cm}$$Jadi, panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga itu adalah $\boxed{5~\text{cm}}$ [collapse] Soal Nomor 2 Panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah $13$ cm, $24$ cm, dan $15$ cm. Hitunglah keliling segitiga itu; dan panjang jari-jari lingkaran luarnya. Pembahasan Jawaban a Keliling didapat dengan menjumlahkan panjang ketiga sisinya, yaitu $k_{\triangle} = 13 + 24 + 15 = 52~\text{cm}.$ Jawaban b Panjang jari-jari lingkaran luar dapat dicari dengan mengalikan ketiga panjang sisi segitiga, kemudian dibagi dengan $4$ kali luas segitiga. Luas segitiga dapat kita cari dengan rumus Heron. Diketahui setengah keliling segitiga $s = \dfrac{52}{2} = 26$ cm. $$\begin{aligned} L_{\triangle} & = \sqrt{ss-as-bs-c} \\ & = \sqrt{2626-1326-2426-15} \\ & = \sqrt{2613211} \\ & = \sqrt{2^2 \cdot 11 \cdot 13^2} \\ & = 2 \cdot 13\sqrt{11} \\ & = 26\sqrt{11}~\text{cm}^2 \end{aligned}$$Dengan demikian, $$\begin{aligned} R & = \dfrac{abc}{4 \cdot L_{\triangle}} \\ & = \dfrac{\cancel{13} \cdot 24 \cdot 15}{4 \cdot \cancelto{2}{26}\sqrt{11}} \\ & = \dfrac{45}{\sqrt{11}} \\ & = \dfrac{45}{11}\sqrt{11}~\text{cm}. \end{aligned}$$Jadi, panjang jari-jari lingkaran luarnya adalah $\boxed{\dfrac{45}{11}\sqrt{11}~\text{cm}}$ [collapse] Soal Nomor 3 Buktikan bahwa Jika $R$ adalah jari-jari lingkaran luar $\triangle ABC,$ maka $R = \dfrac{BC}{2 \sin A}.$ Pembahasan Misalkan pusat lingkaran di $O.$ Tarik garis diameter dari titik $C$ ke sisi lingkaran di seberangnya, yaitu di titik $Q.$ Karena jari-jarinya $R,$ maka $CQ = 2R$ diameter = 2 kali jari-jari. Pada $\triangle BCQ,$ sudut $B$ besarnya $90^\circ$ siku-siku karena merupakan sudut keliling yang menghadap diameter. Selain itu, $\angle BQC = \angle BAC$ karena merupakan sudut keliling yang menghadap busur yang sama, yaitu $BC.$ Dengan menggunakan definisi sinus pada $\triangle BCQ,$ kita peroleh $$\begin{aligned} \sin \angle BQC & = \dfrac{BC}{CQ} \\ \sin BAC & = \dfrac{BC}{2R} \\ \sin A & = \dfrac{BC}{2R} \\ R & = \dfrac{BC}{2 \sin A}. \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $R = \dfrac{BC}{2 \sin A}.$ $\blacksquare$ [collapse] Soal Nomor 4 Buktikan bahwa perbandingan panjang jari-jari lingkaran luar terhadap lingkaran dalam pada segitiga sama sisi sembarang adalah $2 1.$ Pembahasan Alternatif I Misalkan kita punya segitiga sama sisi $ABC$ dengan panjang sisi $x.$ Untuk mencari panjang jari-jari lingkaran dalam dan luar, kita memerlukan informasi berupa luas segitiga dan setengah keliling segitiga. Tinggi segitiga $t$ dapat kita tentukan dengan rumus Pythagoras, yaitu $$\begin{aligned} t & = \sqrt{x^2-\left\dfrac12x\right^2} \\ & = \sqrt{x^2-\dfrac14x^2} \\ & = \sqrt{\dfrac34x^2} \\ & = \dfrac12x\sqrt3. \end{aligned}$$Luas segitiga sama sisi tersebut selanjutnya dapat kita tentukan, yakni $$L_{\triangle} = \dfrac12 \cdot AB \cdot t = \dfrac12 \cdot x \cdot \dfrac12x\sqrt3 = \dfrac14x^2\sqrt3.$$Setengah keliling segitiga dapat dengan mudah dicari, yaitu $s = \dfrac12x + x + x = \dfrac32x.$ Panjang jari-jari lingkaran dalam segitiga sama sisi tersebut adalah $$r= \dfrac{L_{\triangle}}{s} = \dfrac{\dfrac14x^2\sqrt3}{\dfrac32x} = \dfrac16x\sqrt3,$$sedangkan panjang jari-jari lingkaran luarnya adalah $$\begin{aligned} R & = \dfrac{AB \cdot AC \cdot BC}{4 \cdot L_{\triangle}} \\ & = \dfrac{x \cdot x \cdot x}{4 \cdot \dfrac14x^2\sqrt3} \\ & = \dfrac{x}{\sqrt3} = \dfrac{x}{3}\sqrt3. \end{aligned}$$Jadi, perbandingan panjang jari-jari lingkaran luar terhadap lingkaran dalam pada segitiga sama sisi tersebut adalah $$\begin{aligned} R r & = \dfrac{x}{3}\sqrt3 \dfrac16x\sqrt3 = 2 1. \end{aligned}$$Alternatif II Perhatikan gambar berikut. Segitiga sama sisi besar dapat kita bagi menjadi 4 segitiga sama sisi yang kongruen. Jadi, luas segitiga sama sisi besar sama dengan 4 kali luas segitiga sama sisi. Lingkaran dalam segitiga sama sisi besar merupakan lingkaran luar bagi segitiga sama sisi kecil yang berwarna biru. Lingkaran hijau sendiri merupakan lingkaran luar bagi segitiga sama sisi besar. Jadi, luas lingkaran kecil akan sama dengan 4 kali luas lingkaran besar. Akibatnya, $$\begin{aligned} L_R L_r & = 4 1 \\ \pi R^2 \pi r^2 & = 4 1 \\ R^2 r^2 & = 4 1 \\ R r & = 2 1. \end{aligned}$$Jadi, perbandingan panjang jari-jari lingkaran luar terhadap lingkaran dalam pada segitiga sama sisi tersebut adalah $2 1.$ [collapse]

menentukan panjang jari jari lingkaran dalam segitiga